Дано:
запись числа 67₁₀ в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры.

Вопрос:
чему равно основание этой системы счисления N?

Система счисления – специфический формат записи чисел с использованием некого набора специальных знаков.

Основание системы счисления – количество цифр (знаков), используемых в записи числа.

Классификация систем счисления:

• позиционные;

• непозиционные;

• смешанные.

Специфика позиционных систем счисления: один и тот же числовой знак в записи любого числа может принимать различные значения, в зависимости от занимаемой им позиции.

Наиболее популярные позиционные системы счисления:

• двоичная;

• восьмеричная;

• десятичная;

• шестнадцатеричная.

I этап.

Запишем результирующее число в системе счисления с основанием N, оканчивающееся на 1 и содержащее 4 цифры в общем виде:

67₁₀ → xyz1_N (x > 1, N > 1)

II этап.

Поскольку число 67₁₀ и число xyz1_N - одно и то же по значению число, то имеет место математическое соотношение (используем правило перевода из произвольной системы счисления в десятичную систему счисления):

x · N³ + y · N² + z · N¹ + 1 · N⁰ = 67
x · N³ + y · N² + z · N¹ + 1      = 67
x · N³ + y · N² + z · N¹          = 67 - 1
x · N³ + y · N² + z · N¹          = 66

Детерминируем возможные значения N.

Если x = 1, y = 0, z = 0, то число xyz1_N = 1001_N - минимально возможное при заданном N.

Составим и решим неравенство (при x = 1, y = 0, z = 0):
1 · N³ + 0 · N² + 0 * N¹ <= 66
N³ <= 66
N <= 4, так как
4³ = 64   <= 66 - верно,
5³ = 125 <= 66 неверно!

Учтем, что N > 1, следовательно, N `in` [2 ... 4].

III этап.

Пусть N = 2, тогда максимальное значение число xyz1₂ будет принимать, когда x = y = z = 1:
1111₂ = 1 ·2³ + 1 ·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 8 + 4 + 2 + 1 = 15

15 <= 67, следовательно, N = 2 не является правильным ответом.

IV этап.

Если предположить, что N = 4, тогда, должно выполняться равенство:

67 = 4 · b + 1, где
67 - делимое;
4  - делитель;
b  - частное;
1  - остаток.

    67 = 4 · b + 1
67 - 1 = 4 · b
    66 = 4 · b
     b = 66 / 4 = 16.5 `!in` (множество натуральных чисел), следовательно, N = 4 не является правильным ответом.

V этап.

Методом исключения имеем N = 3.